文章原创：曹则贤(中国科学院物理研究所)
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摘要 晶体具有规则的外形，来自内部原子的规则排列。晶体具有最小的重复单元，是由最小重复单元在三维空间堆积起来的，即晶体具有平移对称性。对称性可以用群这个数学概念来表征。平移对称性限制了晶体重复单元只有n=1，2，3，4，6次转轴，因此晶体只有32种点群(单胞的对称性)。32种点群同三维空间中平移操作的组合，决定了晶体只有230种空间群。不管有多少种具体的晶体，按照对称性分类只有230种。二维情形下，n=1，2，3，4，6次转轴加上镜面反映只能得到10种点群；10种点群与二维空间中的平移操作组合，只能得到17种二维空间群。远在人类有群论知识之前，许多文明都认识到了二维晶体只有17种对称性，反映在二维装饰图案比如窗棂的设计上。
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图1 天然晶体：金刚石、水晶和硫磺
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图2 正方体和截角八面体都能充满整个空间
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图3 C5对称的鸡蛋花和D3对称的三叶草
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图4 空间群为pm，p4m，p31m，p6m的二维图案
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图5 32 种三维空间点群的关系(此处使用的是Hermann—Mauguin记号)
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图6 从上到下按对称性排列的14 种布拉菲格子
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参考文献
[1] Shubnikov A (ed.). Symmetry in science and art. Springer，1974[2] Pólya G. Über die Analogie der Kristall symmetrie in der Ebene (关于平面上晶体对称性的类比). Zeitschrift für Kristallographie，1924，60：278[3] Schoenflies A M. Theorie der Kristallstruktur.Gebr. Borntraeger，1923[4] Fedorov E S. Симмтрія правильныхъсистемъ фигуръ(1891). David and Katherine Harker (trans.)，Symmetry of Crystals，American Crystallographic AssociationMonograph，No. 7，50-131，American Crystallographic Association (1971)[5] Burckhardt J J. Zur Geschichte der Entdeckungder 230 Raumgruppen (230 种空间群的发现史). Archive for History of Exact Sciences，1967，4 (3)：235[6] Bravais A. Mémoire sur les systems formés par les points distribués régulièrement sur un plan ou dans l''espace. J. Ecole Polytech.，1850，19：1-128 (English：Memoir Memoir on the systems formed by points regularly distributed on a plane or in space，Crystallographic Society of America，1949)[7] Hestenes D，Holt J. The Crystallographic Space Groups in Geometric Algebra. Journal of Mathematical Physics，1-25，January 2007
本文选自《物理》2019年第2期
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