《多晶X射线衍射技术与应用》-17（第5章 粉末X射线衍射数据）

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5.2 粉末衍射峰位与峰强度数据的提取

下面讨论从多晶衍射仪扫描得到的衍射图提取衍射峰位与峰强度数据所涉及的方法。现在处理X射线衍射图数据一般都用软件工具完成，可以使用粉末衍射分析的专业软件，也可以使用通用的科学计算绘图软件、数学软件、办公软件如Origin，Matlab，Excel，WPS表格等。为用好这些软件工具，深入了解衍射数据处理分析所涉及的数学方法，是很必要的。

在读取每个衍射峰的数据前需要先做两或三项处理：数据平滑、背景扣除或进而作K_α2的扣除。

5.2.1 图谱的平滑

原始的X射线衍射图数据（或记录图）中，总是包含有程度不等的无规则的计数起伏，主要来源于X射线强度的测量误差（X射线强度的测量误差将下节中讨论），因此先要进行数据“平滑”去处理这些计数起伏，才利于进行扣除背景、辨认弱峰、读出峰位置和求峰的净强度等工作。

实验数据平滑实际上是一个信号估计问题，需要滤去噪声和净化数据（去除异常数据）。每个2θ位置上的X射线强度的“真值”可通过该位置及与其相邻的若干个点的测量值来估计，或借助复杂的谱分析方法来确定。

对于用记录仪获得的原始衍射图，如果计数率变换电路的RC用得比较大，则记录曲线会比较匀滑；但如果RC用得较小，衍射强度比较弱，那么记录到的笔迹将是一条由锯齿状的、小幅度起伏频繁的曲线形成的带，RC起了噪声滤波器的作用。对于记录仪得到的计数率模拟记录图，进一步平滑的工作实际上是凭经验目估进行的：根据这条原始的记录笔迹带的平均中线，重新描绘出一条较为匀滑的曲线。

现在原始衍射数据是数字采集的，平滑工作可由计算机完成。数字数据的“去噪”和“净化”方法有移动平滑法，Fourier变换法和近年发展的子波分析法等。

常用的平滑方法是移动平滑法，即依次将每个2θ位置上的强度值和它左右相邻的各n个数据点（共2n+1个数据点）按某种算法计算出一个值作为该点上的平滑值。常用的算法有多种：

· 求算术平均值——取2n+1个数据点的算术平均值，或取其“截尾”算术平均值（即剔除2n+1数据点的最大值与最小值后再求算术平均值）为平滑值，可称作“移动平均平滑法”；

· 取2n+1个数据点的中值为平滑值，可称作“移动中值平滑法”，是一种较为稳健的统计处理方法，能够有效避免异常数据对平滑值的影响；

· 取2n+1个数据点的最小二乘方多项式拟合曲线在该点位置上的函数值作为该点的平滑值，可称作“移动多项式拟合平滑法”；

· 取2n+1个数据点的加权平均值为平滑值，可称作“移动加权平均平滑法”。每个点的平滑值按下式计算，即平滑的过程就是对实测强度数据序列的全部值（除去数据序列首、尾的n个值）进行一次归一的卷和运算：

   （5.7）

“移动多项式拟合平滑”实质上也是一种移动加权平均平滑。Savitzky和Golay研究了m个（m= 2n+1）等间隔的数据点的最小二乘方多项式拟合的算法，证明对每一个m值和任意阶次的多项式拟合均可导出相应的一个数组作为权数组C_j ，按计算加权平均值的式（5.7）来计算平滑区间（即该m个数据点）内的序中位点的最小二乘方多项式拟合值。这就是最常用的Savitzky-Golay平滑算法。对于2次（3次）移动多项式拟合平滑，m = 5，7，……，25时对应的权数组列于表5.1中。Savitzky-Golay平滑算法的权数组C_j对序中位是对称的，C_j = C_-j ，参加平滑的总点数m必须取奇数。

表5. 1　最小二乘方多项式拟合权系数表（二阶或三阶多项式）

上列的四种算法，除移动中值平滑法外都不能排除异常数据对平滑结果的干扰。

移动平均平滑法和移动中值平滑法仅适用于强度变化缓慢的区域，如背景区；对于峰区，特别是峰顶区，应使用移动拟合平滑法或移动加权平均平滑法进行平滑。

一般而言，移动平滑的结果是原始数据和一个权数组的卷和，去噪声的效果随平滑点数m的增加而增加，但亦必将给峰形造成一定的畸变。故对“移动多项式拟合平滑”，m的选择一定要“适度”，切记平滑点数m应参照其半高度全宽，不可过大。若平滑点数m过大，峰高将明显下降、峰形严重宽化且峰的前、后拖尾出现震荡。合理的平滑宽度m应该小于峰的半高度全宽的1.5倍，这时，由于平滑造成的峰高下降不超过15%。但是，平滑宽度对峰位、峰面积的影响很小，对于接近对称的衍射峰，甚至可以说没有影响；对于不对称的衍射峰，平滑宽度对峰位略有影响，随峰的不对称程度增加而稍有增加，但对峰的面积仍可认为没有影响。

对自适应平滑、Forrier变换平滑、小波变换平滑等各种平滑去噪处理亦均有“适度”的问题。

有的粉末衍射数据处理软件的平滑处理只提供Savitzky-Golay平滑算法，或称为Savitzky-Golay滤波器，但有的则提供几种平滑模块供选择使用，如移动中值平滑法、自适应平滑、Forrier变换平滑、小波变换平滑等。通过一些数学工具软件如Matlab，也能够简便地实现傅里叶变换和小波变换等需要复杂计算的数据平滑。

5.2.2  背景的扣除和弱峰的辨认

1.  背景射线的来源

衍射图上记录的射线强度-角度分布图实际上是样品受入射光束照射而在其周围空间产生的各种散射线的强度分布在以扫描平面上面的强度剖面图，并不是样品仅对某一波长的衍射线强度分布的记录。如前面1.1节所述，物质受X射线照射，原射线束穿透射出但强度有衰减，因为其能量部分被物质“吸收”了。“吸收”现象的机理是复杂的，包含着多种物理、化学的效应。其中最重要的物理效应是散射和样品受激发射的二次射线（X射线荧光）。不同机制产生的散射有两种类型：波长不变的相干散射和波长微有增加的非相干散射，散射的方向是充满其周围的三维空间的。样品中的结晶物相的相干散射表现为衍射现象，入射光束中的特征波长在衍射仪记录的衍射图上呈现为“衍射峰”，而其连续波长则可以成为衍射图上强度连续分布的“背景”；样品的二次射线也将成为背景强度的主要构成。因此衍射仪在接收光路上必须采用某种“单色化”手段，如K_β滤片、晶体单色器或高能量分辨率的射线检测器来接收单一波长（通常是K_α）产生的衍射线。但是，即便采用晶体单色化技术，粉末衍射图的整个角度范围内仍会出现有一定强度的“背景”。这些“背景”射线的来源至少有：

1）. 样品中非晶质产生的相干散射。这部分散射的总强度比例与样品中非晶质的总含量，其强度分布决定于非晶质相的组成与结构，常表现有一个或几个很宽（其2θ达几度甚至大于十几度）的强度极大值，称为非晶质的弥散峰。非晶质衍射图上每一个强度最大值对应的是构成该样品的化学基元（分子、原子、原子团、离子...）间的一个常发生的距离，这个距离d 的近似值可以按下式计算：2 d sinθ = 1.2 λ(5.8)，此式十分类似Bragg公式。

2）. 样品中如果存在纳米级的颗粒，颗粒产生的相干散射的强度主要分布在<3°（2θ）的角度范围，称小角散射。这些颗粒如果有衍射，其衍射峰将较宽，有较长的“拖尾”；拖尾的重叠会使小角度区的“背景”线显得提高了。

3）. 样品中原子（离子）的热运动引起的漫散射（属相干散射）。每个晶面的热漫散射的最大值位于该晶面的Bragg衍射的位置上，其强度剖面呈钟罩形，使衍射峰角度的两侧“拖尾”拖长。

4）. 结晶相的点阵缺陷。缺陷会导致衍射峰宽化，有较长的拖尾。

5）. 样品对入射K_α的非相干散射，主要是Compton散射。其与K_α的波长相差很小（特别是在低角度范围上），在强度测量时不易甄别。Compton散射强度随着(sinθ / λ)的增加而增加，因此在较高的角度范围，Compton散射对背景有更大的影响，特别是对轻元素组成的物质（1.5.2节）。

6）. 光路中空气的散射。从原子散射因子的性质可以知道，其强度主要集中在低角度。

7）. 光路中使用的金属材料产生的寄生散射，主要是各狭缝边缘产生的散射。

8）. 仪器噪声作为虚假的射线信号被计入射线强度。与角度无关，基本上是一个固定值。

9）. 如果没有采取单色化措施或者仅用K_β滤片，连续波长的衍射和样品的二次射线将成为背景强度的主要构成。

了解样品对入射波长（通常是K_α）产生的全部散射的构成，对认识背景的特征、正确测量样品的晶体衍射（Bragg衍射）的强度十分重要。

2.  背景线的划定

背景线具有怎样的特点呢？如果样品是结晶良好的物质，衍射图的背景应该是很平的，只有在接近直射光的极低角度部分才迅速上升，在>90°（2θ）的区域强度随角度的增加缓慢地增加；如果样品中含有无定形物质或高度分散的晶体，则会呈现一个或多个很宽的弥散的并且可能互相重叠的散射晕，这些晕的剖面可以用适当的钟罩形函数（如Lorentz函数、Gauss函数、pseudo-Voigt函数、pearson-VII函数等等）曲线来拟合。

经过平滑后的衍射曲线图，仍然保留有一些小的不规则的锯齿状的起伏，主要仍是由于计数的统计涨落所带来的，还有部分是由于光源强度的微小波动而来的。这些起伏对背景的扣除和弱峰的辨认、正确测定衍射峰的强度，很有妨碍。

通常需要先给衍射图确定一条“背景带”，然后才能画出背景线和对弱峰进行甄别、或测定衍射峰的强度。在后面关于峰位读出的处理流程的5.2.5节中介绍了一种提取背景线的方法。

“真正”的背景线不容易确定。实际上衍射峰两侧强度的下降是很缓慢的，故形象地称之为“拖尾”。Suortti（1977）对衍射强度测量准确度的研究进行了总结报道，样品为精心制备的Ni粉试片，发现如计入拖尾Ni粉衍射峰的实际宽度是很大的，其延伸的范围达7°（2θ）。在较高的衍射角范围，相邻的衍射峰开始连续重叠，实际的背景线位置很难确定。如何确定衍射图的背景线，现在只有一些约定的方法，不能保证所确定的背景线是“真正”的背景线。按Suortti的分析，Ni粉衍射图用通常的减背景方法，强度测值的损失311线（2θ=92.94°）为2.7%，222线（2θ=98.44°）为3.4% 。可见对于衍射线很多的多相物质的衍射图，由此带入的误差将是更大的。不过，既然“真正”的背景线难以确定，对于实际使用的确定背景线的方法的基本要求是容易重复，有好的再现性。

对于一张广角范围的衍射图，一种确定背景线的方法是取“背景带”的中线为背景线：通常先将整张衍射图分成等角度的间隔，其大小一般应小于这些弥散晕的宽度而大于重叠峰群中最宽峰的宽度，然后沿每个间隔的最低点，先拟合出背景带的下限线（描绘时应考虑上述关于背景线的特点来进行），设这条下限线上各点的强度为B_L(2θ)，各点背景强度的均方根误差应近似为，则上限线上各点的强度应近似为：

式中Q为与依椐计数统计误差计算的置信度有关的系数，称置信因子，即扩展不确定度的包含因子。

根椐用上述方法确定的背景带，找到各个中点，描绘出圆滑的背景带中心平分线，即为衍射图的背景线。再以这条线为基线，扣除背景强度，则可求得各衍射线的净强度。

只有强度超过背景线上限的峰才可以认为是可信的。因此，对于弱峰的辨认显然与Q值有关。Q值取得越大，辨认出的弱峰就越可信。例如Q = 0.675时，置信度为50%；若Q = 1.64，则置信度为90%；若Q = 3，则置信度为99.7%，即通常采用的判断实测数据是否“超界”的因子。

如果只需求衍射图上某几个峰的面积，简便的方法是对这每个峰尽可能宽地各指定其起点和终点，分别连直线作为每个峰的背景线。

5.2.3  K_α2衍射的分离

X射线管阳极的特征谱线都不是单一波长的而是含两个或几个大小很接近的波长的复合谱线，如CuK_α谱线实际含波长λ = 1.54056Å的CuK_α1谱线和波长λ = 1.5444Å的CuK_α2谱线（1.3.2节），两者的波长差为0.004Å。衍射仪一般所配备的单色器能够分辨K_α和K_β但还不能分辨K_α1和K_α2，得到的是K_α1和K_α2的混合谱。因此，即使有单色器，通常由衍射仪得到的衍射图都是样品对K_α1和K_α2两个波长的衍射图。样品中每个晶面将产生两个衍射角微有差别的衍射峰，其强度比约为2:1；K_α1和K_α2两个波长衍射角之差决定于产生衍射的晶面的间距。从Bragg方程可以知道，对于间距较大的晶面其衍射角较小，K_α1和K_α2两个波长衍射角之差也小，两个衍射峰可能几乎完全重叠；而对于间距较小的晶面其衍射角较大，K_α1和K_α2两个波长衍射角之差也大，两个衍射峰可能完全分开。所以，对于结晶良好的样品，其衍射图上一般在<20°(2θ)范围的衍射峰，看不出是双重峰；随着角度的增加，所有的衍射峰都呈现为双重峰，双重峰的分离程度随着角度的增加而增加；在更高的角度（>60°(2θ)），K_α1和K_α2两个波长的衍射则呈现为两个完全分离的衍射峰了。

K_α2的存在，使所有的衍射峰成为双重峰，给峰位的确定带来影响，给峰宽的测定带来困难。为减小K_α2对晶面间距测量的影响，在双重峰严重重叠不能分辨的衍射角范围，应该采用加权平均波长λ_Kα进行计算，加权平均波长λ_Kα = 2/3λ_Kα1 + 1/3λ_Kα2 ；在双重峰能够分辨K_α1的衍射角范围，才能采用K_α1波长进行计算。

消除K_α2的影响，在实验上可以借助双晶单色器，但衍射强度将受到严重的损失。通过数据处理也可以把K_α2造成的衍射剥离出去，得到近似“纯”K_α1生成的衍射谱。

如何通过数据处理剥离K_α2产生的衍射谱，有过很多研究，提出过很多方案。这些方案大致可以分为两类：一类是最早应用的Rachinger提出的替代图解法及随后发展的若干改进方法。这类方法以几个近似假定为基础，方法比较简单，便于手工操作，故应用较广。另一类是Gangulee提出的Fourier变换法，没有很多的假定，较Rachinger法严谨。

现代衍射仪的软件都带有K_α2的分离程序，可以根据图谱分析的需要，选择分离或不分离K_α2的处理。

1. Rachinger法

Rachinger法以下面几个假设为基础：

(1) K_α1和K_α2产生的衍射峰有相同的峰形，即它们有相同的峰宽和强度分布；

(2) K_α1和K_α2产生的衍射峰的强度比为2:1；

(3) K_α1和K_α2产生的两个衍射峰的分离度Δθ由微分Bragg方程得到：

并忽略在衍射峰的角度范围内分离度Δθ 随θ 的改变。计算时上式中λ使用Kα的加权平均波长λ_Kα ：

在以上假设的基础上，Rachinger算法的大意可以简述如下（参阅图5.3）：设某个K_α1与K_α2衍射双重峰的强度分布在2θ₁至2θ₂，则在其起始的2θ₁至(2θ₁ + Δ2θ)角度范围内没有重叠问题，是仅由K_α1产生的衍射强度；与此类似，在其结束的(2θ₂ - Δ2θ)至2θ₂角度范围内也没有重叠问题，是仅由K_α2产生的衍射强度。在(2θ₁ + Δ2θ)至(2θ₂ - Δ2θ)角度范围内任一角度2θ的衍射强度I_T(2θ)都是K_α1衍射强度I₁(2θ)和K_α2衍射强度I₂(2θ)的叠加，即：

而依据假设，I₂(2θ) = 0.5 I₁ [2θ - Δ(2θ)]，因此

设峰形数据序列（按2θ从低到高排列）有n个强度数据点，其第1个Δ(2θ)间隔里的数据点应均为纯Kα1的强度，对应第2个Δ(2θ)间隔的第1个数据点开始，按式（5.9）扣除Kα2的强度，如是对随后的每一个强度数据按式（5.9）处理，便可以计算得到整个峰形的“纯”Kα1强度分布数据。

如果考虑到分离度Δθ 随θ的改变，即

而可忽略分离度在Δθ 范围内随θ的改变，计算K_α1强度的步骤作如下改变：定义一个整数m，m = int[Δ(2θ) / b]，b为采数(2θ)步宽，在进行K_α1的强度时，每处理完m个强度数据，即按式（5.10）刷新一次Δ(2θ)并计算一个新的整数m的值，然后再处理继后的m个强度数据。如是，可以比前述的简化处理做得更合理一些。

此外，K_α2 / K_α1产生的衍射峰的强度比对CuK_α实际为0.47，上述的处理也应作相应的修改。

图5.3   Rachinger法的示意图，右图分别示出K_α1和K_α2的贡献

Rachinger法简单，但其前提假设是不严格的，而且前面数据点强度值的不确定度全部传递到后面的数据点的Kα1强度值中，但其仍是现在很多粉末衍射数据处理程序中采用的方法。

2. Fourier变换法

任何满足Dirichlet条件的函数都可以用Fourier级数来表达。因此K_α双线的峰形I(2θ)可以展开为Fourier级数：

 （5.11）

式中2N为I(2θ)有值区间内的采数步数，A₀、A_n、B_n都是函数I(2θ)的Fourier系数：

其中n = 1、2、3、……为阶数。

同理，K_α1的峰形I₁(2θ)可以写成：

 （5.12）

设K_α2 / K_α1的强度比为R，R = K_α2 / K_α1，R ≈ 1/2，K_α双线的分离度为Δ(2θ)，并采用Rachinger法的假设（1）和（3），则按式5.9应有：

    （5.13）

因此，可以根据实测的峰形I(2θ)，首先计算出其Fourier系数A₀、A_n、B_n ，再利用式(5.13）计算出峰形I₁(2θ)的Fourier系数，最后由(5.5)式计算出I₁(2θ)峰形。计算时R值可以先取值为0.5，R值不适当时I₁(2θ)峰形的高角度侧的拖尾会出现震荡，适当调整R值可以得到满意的纯K_α1的峰形I₁(2θ)（图5.4）。对于CuK_α，R = 0.47 。

Fourier变换法分离K_α2的特点是能同时获得I₁(2θ)的Fourier系数，利用计算机程序处理数据，可以方便地得到所要求的结果。峰形Fourier系数在衍射峰形分析中是很有价值的峰形参数。

图5.4　用Fourier变换法分离K_α双重线

(a) 实测的K_α双重线峰形（平滑后的数据）；(b) 从实测峰形分离出来的K_α1线衍射的峰形

3.  PowerX精确扣除CuK_α2算法

PowerX程序利用程序作者开发的精确扣除CuK_α2的算法, 实现CuK_α2扣除功能。以往的扣除K_α2方法，绝大多数都需假定K_α2和K_α1的线形相同，只有Ladell的方法是利用实测的线形。但利用实测线形有仪器依赖的缺点，对不同的仪器必须重新计算。由于实际上K_α2和K_α1的线形并不完全相同，所以在利用以上方法进行K_α2扣除以后，往往在衍射峰的高角度一侧出现衍射强度振荡，甚至在衍射高峰的高角侧出现虚假峰，影响数据分析结果。M. Deutsch等人利用带槽整块（channeled monoclithic）双晶衍射仪测出CuK_α2和K_α1分别都具有双线结构，另外还有一条弥散的相对强度为1.6%的卫星线。所以，可以说CuK_α一共由5条衍射线组成。虽然理论上每条单线也不对称，但已经证明，用Lorentz函数可以较好地描述每一单线。根据以上结果董成发展出扣除K_α2双线的新算法。这一方法适用于Cu靶的K_α2扣除。特点是根据以上精确的本征CuK_α2线形，所以不依赖于仪器， 对大多数使用Cu靶的实验数据进行处理的结果均优于Rachinger方法和Ladell方法。

5.2.4 平滑二阶导数法自动读出峰位，同时确定峰高和峰宽

程序自动寻峰即峰位自动判别的方案很多，最常采用的是"平滑二阶导数法"。此处理方法的隐含假设是衍射峰是对称的。二阶导数判定峰位的原理如下（请参阅图5.5）：

图5.5(a)示出了一个Lorentz函数:

的图形，(b)和(c)分别是它的一阶导数和二阶导数的图形。从图可以看到，峰的最大值、一阶导数函数的过零点以及二阶导数函数的负极值，具有相同的x坐标，峰的拐点间的距离（拐点宽）等于二阶导数负区宽。因此，利用函数二阶导数图形的特点，可以用负极值的位置来确定峰巅的位置，并利用负区宽度确定峰的半高宽度。对于Lorrentz函数，其半高宽度(FWHM)等于其二阶导数负区宽度的倍（约1.7倍）。

衍射仪得到的衍射峰的形状更接近一种改进的Lorentz函数（ML函数）：

对于ML函数，其FWHM近似等于其二阶导数负区宽度的倍（约1.4倍）；其峰高Ip也可以根据其二阶导数负区的面积进行计算：

图5.5　导数法判峰位的原理            图5.6　重叠峰的导数图形

式中 (x₂ – x₁) 是负区的宽度，A为负区面积。按负区面积计算峰高，在峰重叠的场合下也能得到较为正确的峰高。如果直接用峰的最大值作为峰高，除受峰重叠的影响外，其计数统计误差也较大。

二阶导数法寻峰虽有它的优点，但是，它对数据的起伏十分敏感, 因而需要用到数据平滑的计算二阶导数算法来求峰区数据的二阶导数。

平滑求导可采用Savitzkey & Golay的算法。拟合移动平滑或平滑求导的做法是：取每个数据和它左右各n个近邻点（共2n+1个点），用多项式进行拟合或拟合求导，以该点处的拟合值作为该点的“平滑值”或“平滑”的导数值。所以，使用这种算法时，需要先指定每次参加拟合的数据点数目，又称为“拟合宽度”。按Savitzkey & Golay的推导，求多项式拟合移动平滑值或其任意阶导数的平滑值的计算式，都可以表达成卷和的形式：

表5. 2　最小二乘方多项式拟合平滑求二阶导数权系数表（二阶或三阶多项式）

5.2.5 峰处理程序的流程

从上面的讨论可见，平滑二阶导数法峰处理程序的流程一般应含三个步骤（图5.7）：

图5.7　"衍射峰测量"功能的操作流程图

1. 确定背景线

程序先依据原始数据确定衍射图的背景线。衍射图背景线是这样确定的：首先对原始衍射数据进行抽样，抽样的间隔应远大于图中衍射峰的半高宽（取2至6倍的半高宽，抽样点的个数为总数据个数的5%便足够作出背景线了）。然后程序将对抽样点集，进行类似三点移动平均平滑的操作，即每个抽样点 I_i 与其左、右两点的平均值

J_i = ( I_{i - 1} + I_{i + 1}) / 2

比较，若I_i > J_i + 2 J_i^0.5  , 则用J_i 取代I_i  。如是对背景线的抽样点集，轮番地重复进行这样的平滑处理多次，便可得到衍射图背景线抽样点集，并且在屏幕上把背景线显示出来。

2. 寻找峰区和识别衍射峰

衍射峰的特征是：强度足够和宽度足够。故确定背景线之后，从原始数据中减去背景上界B_h > B _i + Q B_i^0.5,Q为置信因子；差值若大于零且连续宽度大于1.5 FWHM，则认为是一个Bragg衍射峰区，并记住峰区的起始处和结束处对应的背景值（称前背景和后背景）。

因此，为了找出衍射图上的衍射峰区和进一步确定各衍射峰的峰位，需要确定一套“寻峰参数”：平滑点数或平滑宽度、置信因子Q 。

平滑宽度等于平滑点数m与采数步宽的乘积，平滑宽度不应大于1.5 FWHM。m可选用值的范围常常是：5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25。

Q值由程序按操作者要求的置信度来选择。置信度可指定为 68.3%, 90%, 95%, 99% 和 99.7% ，相应的Q值为0.675，1.00，1.64，1.96，2.58和3.00 。

3. 确定峰位和峰高、峰宽

程序按设定的m、Q值用移动平滑二级导数法逐个峰区进行检峰, 按二阶导数负区极值的位置来确定每个峰的2θ。二阶导数负区极值的绝对值越大反映峰越陡且高，程序称其为峰的锐度或检出阈，是确认一个衍射峰的判据之一。峰宽FWHM也是确认一个峰的判据之一。如前所述，半高全宽FWHM可以根据负区宽度(u₂ – u₁ )进行计算，对于函数

前已指出，它的半高度全宽FWHM和峰高I p分别为：

下一章：第6章 粉末X射线衍射数据的不确定度

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